成都輔導(dǎo)高一數(shù)學(xué)

成都輔導(dǎo)高一數(shù)學(xué)，高中生在線網(wǎng)課補習，效果很不錯。

整理總結(jié)高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點三

高一函數(shù)中涵蓋的知識點比較零散，但總是會在選擇和筆算題中出現(xiàn)，所以高一函數(shù)知識點這塊的內(nèi)容不容忽視。

一 函數(shù)的單調(diào)性

1、單調(diào)函數(shù)

對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[，b]上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)

對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點：

(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性

(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替

(3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi)

(4)注意定義的兩種等價形式：

設(shè)x1、x2&;[，b]，那么：

①在[、b]上是增函數(shù);

在[、b]上是減函數(shù)

②在[、b]上是增函數(shù)

在[、b]上是減函數(shù)

需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零

(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且(或x1>x2)，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”

5、復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性

若=g(x)在區(qū)間[，b]上的單調(diào)性，與y=f()在[g()，g(b)](或g(b)，g())上的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在[，b]上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞減簡稱“同增、異減”

在研究函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程

6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法

(1)依定義進行證明其步驟為：①任取x1、x2&;M且x1(或<)f(x2);③根據(jù)定義，得出結(jié)論

(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

如果f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)

二 函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，應(yīng)加強對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識

求作圖象的函數(shù)表達式

與f(x)的關(guān)系

由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換

y=f(x)±b(b>0)

沿y軸向平移b個單位

y=f(x±)(>0)

沿x軸向平移個單位

y=-f(x)

作關(guān)于x軸的對稱圖形

y=f(|x|)

右不動、左右關(guān)于y軸對稱

y=|f(x)|

上不動、下沿x軸翻折

y=f-1(x)

作關(guān)于直線y=x的對稱圖形

y=f(x)(>0)

橫坐標縮短到原的，縱坐標不變

y=f(x)

縱坐標伸長到原的||倍，橫坐標不變

y=f(-x)

作關(guān)于y軸對稱的圖形

【例】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對任意x，y&;R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)&;0

①求證：f(0)=1;

②求證：y=f(x)是偶函數(shù);

③若存在常數(shù)c，使求證對任意x&;R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請說明理由

思路分析：我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù)，解決這類問題一般采用賦值法

解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)&;0，所以f(0)=1

②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數(shù)

③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x)

兩邊應(yīng)用中的結(jié)論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函數(shù)，2c就是它的一個周期

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